微分几何基础

微分几何是现代数学领域中的重要分支，在理论探索和实际应用中都是重要学科。大名鼎鼎的高斯、欧拉是微分几何学派的创建者（是否记得多少公式和定理以这两人的名字命名）。20世纪是微分几何发展迅猛的100年，中国的数学家也做出过重要贡献，如陈省身、邱成桐（菲尔兹奖得主）。在计算机领域，微分几何是计算机图形学的基础，逼真酷炫的电脑游戏、电影等，都是在微分几何基础上的产业化。在机器人领域，核心控制系统需要合适的传感器（如相机）获取信息，并理解环境信息，属于计算机视觉的范畴；如需完成复杂动作，如抓取、放置等操作，则需要理解物体的几何信息，需要用几何特征描述来决策机器人要执行的动作。

完成机器人抓取需要如下两个过程：
·识别过程，属于视觉和深度学习的范畴，在此不再赘述。
·获取物体的三维空间描述，微分几何。
三维空间中的物体有哪些特征呢？
 

曲率

为理解曲率，首先回到二维平面。什么是曲率？简答说来，是几何体的不平坦程度。平面曲线的曲率定义为其密切圆的倒数。采用微分的定义，密切圆在很小的范围内同曲线重合。故平面中的圆所有点曲率一直，为半径的倒数，密切圆为其本身。直线曲率处处为0，因其密切圆半径无穷大。

曲线的密切圆和密切圆半径。曲率为半径的倒数。

三维空间中可用曲率描述曲面。包括两个主曲率、高斯曲率、平局曲率等。点的主曲率是通过此点曲线大和小曲率。高斯曲率为两个曲率之积，平均曲率则是两个主曲率之平均。

一些特殊情况，如负曲率，如马鞍型，常见使用：冷却塔，广州塔。

二次曲线（Conics）和二次曲面（Quadrics）

二次曲线也称圆锥曲线，其在数学上的定位为一个正圆锥面和一个平面的相切形成的曲线。其公司可表述为：

 

其中A，B，C不得皆等于0。故常见的圆、椭圆、抛物线等皆属于二次曲线。

二次曲面则是三维空间中常见的曲面，其一般公式为：

 

常见的二次曲面包括：


·椭球（Ellipsoid），形如

 

 

球体是椭球的一种特例


·双曲面（Hyperbolic），形如

 

或

·圆锥体（elliptic cone），形如：

一些特殊二次曲面示例：

 

曲面拟合

在机器人抓取领域，一般采用深度相机作为传感器。深度相机可直接获取空间点云信息。对于特定物体的抓取，一般在检测定位的基础上，采用点云拟合的方式定位，从而获取物体在深度相机坐标系下的位置和姿态。常用的拟合有如下几种：

·平面拟合。空间中的平面可由空间中一点和法向量唯yi确定。常用拟合方案有，主成分分析；小二乘法；随机采样法（RANSAC）。
·圆柱拟合。实际抓取场景中经常碰到圆柱面物体的情况。实际点云拟合中，如果已知主轴方向，则可投影到平面中，做圆的拟合。如方向未知，可首先用PCA的方法确定主轴方向。

·球体拟合，看似复杂，实际只需确定圆心（一个点）和半径。总共4个自由度（未知变量），可使用小二乘法或数值*化方法来确定。

 

不规则形状

 

机器人抓取的实际场景中，一般曲面较为复杂，很难用简单公式表述。对于复杂曲面（曲线），一般采用ICP（IterativeClosestPoint）的方案完成自由形状的对齐。

总结

曲率是描述空间中的曲线或曲面重要的特征。一般来说，进行机器人抓取，需要首先利用图像信息确定物体的图像位置，然后通过深度相机获取的点云信息技术其几何特性，完成抓取过程。曲面拟合和ICP的方案仍然有许多细节，在机器人抓取中需要特别注意。

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